A számok bűvölete

Egy újabb fontos felismerés, ezúttal a gazdaság terén:

bagolyvisszanézA mindennapi életben a természetes számokat preferáljuk, és így van ez azzal is, amit adóként befizetünk.

A könyvelőiroda azonban valós számokat akar.

A kreatív könyvelés mégis imaginárius számokkal parádézik.

Ha a hajdani matektanáraim ebbe belegondolnának, nem biztos, hogy annyira erőltetnék a magasabb szintű matemaktikát.

A címkép szabad felhasználású kép C00 licenccel, a http://www.pexels.com gyűjteményéből.

Mit látsz a képen?

Ha megkérdezlek, hogy „Mit látsz a képen?”, valószínűleg fel sem merül majd, hogy a realitást mondd. Nem vagy vele egyedül.

Persze ahhoz, hogy azt láthasd, amiről írok, meg kell nézni a képet az itt elérhető legnagyobb fájlméretében is. Kattints rá, és a FullHD tévék képéhez hasonló méretben (csak magasabb változatban) nyílik meg, ha igaz.The Tirrenean Sea by Castello Boccale (near Livorno) — A Tirr

üregibagolyTehát, mi látható a képen? Gondold meg jól a választ. Gondolj arra is, hogy én tettem fel a kérdést, szóval valami turpisság kell legyen benne.

Folytathatjuk? Jól van.

Amit itt látsz, egy képpontokból álló rendezett kétdimenziós tömb, más néven mátrix. Ez pontosan kétmillió-négyszázötvenhétezer-hatszáz olyan elemi képpontot tartalmaz, amelynek az értéke 0 és 255 között van, és ezekkel az értékekkel pontosan 256 fokozatban jelzik, hogy az adott helyen a fényképezőgép szenzorát mennyi fény érte. Minden egyes ilyen képpontnak pontosan meghatározott helye van a mátrixban, és a képpontok egymáshoz való helyzete és az általuk képviselt világosság-érték egy mintázatot ad ki. Egy olyan dolognak a mintázatát, ami nincs itt, nem található meg sem Magyarországon, sem a számítógépemben, sem abban az eszközben, amin most éppen a blogomat olvasod. Ha itt lenne a számítógépemben vagy a Te eszközödben, valószínűleg nem lehetne megjeleníteni, nem is beszélve a kárról, amit az amúgy meglehetősen drága számítástechnikai eszközökben tenne. Mégis, ha ránézel a fájlra, úgy tűnhet, hogy a Ligur-tengert látod, Livorno közelében, ahogy csillog a napfényben, de – emlékeztetlek – szerencsére a Ligur-tenger nincs sem a Te gépedben, sem az enyémben. Valójában amit látsz, az a Ligur-tenger felszínén visszaforduló (illetve többé-kevésbé elnyelt) fény egyfajta lenyomata, amely, miután áthaladt egy B+W márkájú, nyolcágú csillagszűrő üvegén, majd egy bonyolult, matematikai, optikai, mechanikai és elektronikai mesterművön, amelyet objektívnek hívnak, a fényképezőgépem képérzékelőjének elemi érzékelőin töltést hozott létre, amely arányos volt az érzékelőt ért fény mennyiségével. Ezt egy erre a célra kifejlesztett, rafinált és rendkívül bonyolult eszköz elektronikus jelekké alakította, majd azokat a tökéletesen fehér és tökéletesen fekete közötti 256 fokozatú skálának megfelelően számokká alakította (kettes számrendszerben, mert azt könnyebb tárolni), és egy olyan eszközre tárolta, amely egy-egy elektromosan gerjeszthető elemi részén vagy tárol töltést, vagy nem – ezért kell a kettes számrendszer. Mindezt további eljárások, eszközök felügyelték, nehogy érvényesülhessen a digitális paradoxon, miszerint egy nagy nulla olyan, mint egy kis egyes: a töltéskülönbségek nem mindig állandók, és előfordulhat, hogy a kiürített memóriahelyben marad annyi töltés, hogy a következő kiolvasáskor feltöltöttnek látszik.

bagolyvisszanézBonyolult? Az, de elképesztően egyszerű is, és lenyűgözően elmés.

Képzelj el egy vízesést, amely állítólag a víz mennyiségének változásával egy mintát ad ki. Tegyél a vízesés alá sok-sok, egymáshoz tökéletes közelségben lévő kis tölcsért, amelyek alatt mind egy-egy kis edény van, amelyek egyforma méretűek. Ahol több víz zuhog alá, ott a kis edényke hamar megtelik, és az alatt az idő alatt a többi edénykében kevesebb víz kerül, arányosan azzal a mintázattal, amit a vízesés alkot. Persze a lezúduló víz fröccsen is, és az edénykék, ha rosszul választjuk meg az időt, ameddig a vízesés alá tartjuk a szerkentyűnket, meg is telhet, túl is csordulhat, akár a szomszédos edénykébe is. Tehát nagyon ügyesnek, pontosnak és szerencsésnek is kell lennünk. Ha az edénykéink átlátszóak, és a víz meg van színezve, akkor felülről megnézve az edénykéket kiadják a vízesés titkos mintáját.

Nagyjából ez történt eddig a fényképezőgépben, csak a mintázatot adó mennyiségeket fel is jegyeztük, természetesen minden kis edénykének a pontos helyével együtt.

Ha most megnézed a képet újra, talán látni fogod azt a kétmillió-négyszázötvenhétezer-hatszáz elemi részecskét a maga 0 és 255 közötti értékével, ami az adott képpontok szürkeségét jelenti: azaz a fény mennyiségét az adott helyen. Azért választottam fekete-fehér képet, hogy elég legyen a szürke árnyalataival gondolkodnunk és számolnunk. Látni fogod a képpontok kis edénykéit, amelyekben pontosan 0 és 255 ml (hogy egyszerűbb legyen) színezett víz van, és mégis egy rajzolatot, egy összefüggő mintát: a Ligur-tenger felszínén csillogó fény lenyomatát adja ki. Szerintem ez maga művészet!

bagoly_glassÉs valójában még ez csak egy kis részlete annak a nagyon tudományos és száraz mágiának, ami a monitoron, kijelzőn, vagy papíron látható kép. Minden egyes megjelenítő kicsit máshogy ábrázolja azt a 256 fokú skálát, mindegyik megküzd a saját technikai korlátaival. Sokuk a 0–20 tartományban mindent feketének mutat, és hasonló gondjai vannak a 247–255 közötti értékekkel is, csak ott meg fehér minden. Ezek a számok, amiket említettem, a nagyon jó minőségű, speciálisan e célra tervezett grafikai megjelenítőknél várható értékek. Egy egyszerűbb, olcsóbb, régebbi megjelenítő, vagy monitor helyett telefon képernyője még komolyabb korlátokkal küzd, és a megjelenő kép is más lesz, kevesebb kontraszttal, kevesebb részlettel. Ha nyomtatni akarjuk a képet, ezt tovább változtatják a festékek, papírok, nyomtató eszközök sajátosságai, és jellemzően a kevesebb részlet irányába. Erre az okos fejlesztők mindenféle korrekciós eljárásokat alkalmaznak, amelyek általában sok csodára képesek, de a tökéletességre nem. Nem meglepő: amikor a fényképezőgép 256 fokú skálán értékeli a fénymennyiséget, már ott elvész ismeretlenül sok adat, amelyek mind-mind finom részletek lehetnének. Az Isten nem a gépben van.

Másnak megtettem, hogy megalapozott számításokkal megközelítőleg meghatároztam (levezetéssel együtt), hogy mekkora változatosság lehet egy ilyen méretű fekete-fehér képben. Csak az elképesztő nagyságrend miatt írom, hogy durván 1,62 x 10396 jött ki: igen, az ott 396 darab értékes számjegyet jelöl. Más oldalról nézve a kérdést: egy ekkora képen ilyen sokféle műalkotás ábrázolható. Az utóbbi, mint lehetőség, inkább megnyugtató, mint amennyire szédítő az előbbi: van még tere az alkotásnak!

bagolymondjakockaMindez azonban csak kombinatorika, elektronika, meg hasonló műszaki bűbáj, aminek fő jellemzője az, hogy megismerhető, megismételhető és megjósolható kell legyen. Ha a fenti képet művészinek tekintjük (többek mondták már rá, hogy az), akkor a valódi mágia abban rejlik, hogy eszembe jutott a vízfelszín csillanásait csillagszűrővel fényképezni (ettől van minden egyes csillanásnak nyolc sugara), és a tenger hullámzó felszínét sötét fekete tónusokkal úgy érzékeltetni, hogy a hullámok ritmusa még érezhető legyen.

De amikor a képre nézek, a Ligur-tenger szépségén kívül (és túl) a képpontok szigorú matematikáját és a technika hiányosságaival együtt és brilliáns lehetőségeit is mindig újra és újra megcsodálom, mert egy kép nem csak látvány, üzenet és hangulat, hanem bámulatos tudás megnyilvánulása is. Szerintem.

Mit látsz a képen?

bagolymondjahudekinos

A címképen látható részlet is a taglalt felvételből származik. A kép saját felvételem, Livorno közelében, Castello Boccale mellett készült.

Mennyi? Ötven! De miben ötven???

A fele jó ha csak félig elég

bagolymondjaversenyezz1983. július 22-én, pénteken az autóversenypálya tele volt emberekkel. A másnapi versenyekre készültek, de azért jutott program aznapra is. Nem csak versenyzők és versenyautók voltak mindenfelé, hanem rengeteg néző is, fiatalok, öregek, családosok kisgyerekekkel, tizenévesek, akiket megérintett az autósport, vagy csak ki akarták élvezni, hogy a régi katonai légi bázis aszfaltján és betonján nekik is jut bőven hely arra, hogy kitombolják magukat. Ragyogó, napsütéses idő volt, a hétvége még éppen csak elkezdődött, és a szórakozás garantáltnak tűnt. A két leszállópálya és a gurulóutak között, a kiszolgáló területek (az “apron“, azaz “kötény”)  aszfaltján izgalmas versenyautókat készítettek fel, a hosszabbik kifutó végén a gokartpályán szinte folyamatosan mentek a versenyzők, és a kifutó melletti motokrossz pályán is vinnyogtak a motorok. A piknikezők kempingszékekkel, asztalokkal, hűtőtáskákkal és napvédő sátrakkal felszerelkezve élvezték az időt, a műsort, és a kanadai nyarat. Gimli, ez a Winnipeg-tavi kisváros viszonylag kevés szórakozásra adott alkalmat, ki kellett használni hát, ami adódott!

Két tizenéves a nagy kifutó túlvégén, távol a gokartoktól, a drag strip, a gyorsulási versenyek negyedmérföldes szakaszán biciklizett, csak úgy, a biciklizés kedvéért. A drag strip most épp kiesett a nyüzsgésből, és egyfajta védettség-érzetet adott, hogy a pálya közepén hosszában még szalagkorlát is húzódott – de hát a versenyek és bemutatók a bázis másik végén voltak, ide nem kerülhetett jármű, ami veszélyeztethette volna őket.

Egészen addig, amíg a fejük felett pár méterre meg nem jelent egy egy Boeing 767-233, ijesztően alacsonyan, és teljesen némán. A srácok megdöbbenve iszkoltak a repülőgép elől, amely olyan alacsonyan szállt már, hogy tökéletesen látták Pearson kapitány tekintetét. A kapitány is látta a színtiszta rémületet a fiúk arcán, de nem sokat tudott foglalkozni velük, mert éppen más dolga volt: valahogy meg kellett akadályoznia egy csomó ember halálát.

Az alig négy hónapja elkészült Boeing azért érkezett olyan váratlanul és csendesen, mert több mint negyed órája egyetlen hajtóműve sem működött. A szél süvítését, a RAT surrogását elnyomta a Formula Ford versenyautók zaja, pedig jó lett volna, ha valaki tud róla, hogy a hatalmas, széles törzsű utasszállító sehol máshol nem tud már leszállni csak éppen itt. A drag strip és a gokartpálya között húzódó régi 32L kifutón.

Az utasszállító talajt fogott, és Pearson kapitány azonnal teljes erőből fékezett. A kerekek nem bírták ezt a terhelést, és kettő szét is robbant közülük, az orrfutó pedig, amit  a normál nyitásához szükséges áram hiányában gyakorlatilag “kiráztak” a helyéről, nem reteszelt a szükséges helyzetben, és egész egyszerűen becsuklott. A hatalmas repülő orra lecsapódott a szalagkorlátra, és a kapitány úgy adagolta a két oldali kerekekre a fékerőt, hogy azon is maradjon, mert az is lassította a gépet. Az extra súrlódásra nagy szükség volt, mert a gokart pálya és a kempingezők székei, asztalai és sátrai vészesen közeledtek, nem is beszélve a hűtőládákban várakozó sörösüvegekről. A srácok sikeresen kikerültek a veszélyzónából, és rémülten nézték, ahogy az óriás ragadozó végül megáll, egészen rövid, mindössze ezer méteres csúszás után. Kinyíltak az utastér ajtajai, előkerültek a csúszdák, és csodák csodájára a hatvanegy utas és a nyolcfős személyzet mind életben, legfeljebb kisebb horzsolásokkal és zúzódásokkal elhagyták a gépet. Sokan a sérültek közül csak akkor szenvedték el sérülésüket, amikor a gép égnek meredő farokrészének vészkijáratain menekültek ki – a csúszdák nem voltak elég hosszúak az orra bukott géphez. A versenypályán senkinek nem esett bántódása. A gép orrfutójánál keletkezett kisebb tüzet az autóversenyzők és a versenyt felügyelő tűzoltók pillanatok alatt eloltották.

Az Air Canada 143-as járata Edmontonból Ottawa érintésével hazafelé tartott Montrealba, amikor az Ontario állambeli Red Lake fölött, 12 500 méteres magasságon elfogyott az összes üzemanyag a gépből. Szerencsére a két pilóta, Robert “Rob” Pearson kapitány és Maurice Quintal első tiszt is gyakorlott, sokat tapasztalt pilóta volt, Pearson ráadásul vitorlázógépeket is repült – de a vitorlázógépekhez képest egy ekkora utasszállító teljesen máshogy viselkedik, és egyáltalán nem volt akkoriban felkészítve senki és semmi arra, hogy minden hajtómű leálljon, és minden áramforrás csődöt mondjon. A gép kormányzását is elektromos vezérlésű hidraulikus rásegítés tette lehetővé, ezért az áram nélkül rendkívül nehéz volt, és bár volt mechanikus kapcsolat a kormány, pedálok, és a kormányzást ténylegesen végző aerodinamikai felületek között, a mozgatásuk nagyon nagy fizikai erőt igényelt. És még a műszerek sem segítettek: a gép eltűnt a radarokról mert az azonosító kódját sugárzó transzponder sem működött, és a siklórepüléshez legfontosabb mérőműszer, amelyik a gép emelkedésének-süllyedésének sebességét méri, szintén használhatatlanná vált. Sem a földi irányítás, sem a pilóták nem tudták pontosan, milyen magasan lehetnek, csak a tapasztatra hagyatkozhattak. Az nagyon hamar biztossá vált, hogy a gép nem ér el a legközelebbi szükségrepülőtérig sem, nem is beszélve az ekkora gépek fogadására felkészített legközelebbi, winnipegi légikikötőről. Szerencsére Pearson hajdan a Gimli melletti RCAF bázison szolgált, kitűnően ismerte a környéket és tudta, hogy a 32L kifutó elég hosszú egy Boeing 767-esnek is. Azt azonban sem ő, sem a légiirányítók nem tudták, hogy a bezárt légi bázis területét átvette a Canadian Automobile Sport Clubs autósport szervezet, és a Gimli Motorsports Park pályákat, sőt, szalagkorlátot épített a kifutóra. A párhuzamos 32R kifutó rövidebb, keskenyebb és így teljesen alkalmatlan volt, sőt, valójában Pearson kapitánynak nem is jutott eszébe, hogy létezik. Így került az elnémult utasszállító a nagyon is hangos autóverseny közepére.

gimli_glider
Az Air Canada 143-as járata a Gimli Motorsports Park versenypályájának korlátján – képkocka a korabeli híradásokból

Nem akarom nagyon elaprózni, hiszen sok helyen meg lehet ismerni a történet részleteit. Az üzemanyag kifogyását közvetve a matematika okozta. Kanada akkortájt tért át a birodalmi mértékegységek használatáról a metrikus rendszerre, és ráadásul az akkoriban új 767-esnek volt egy gyakran jelentkező típushibája: az üzemanyag-mennyiségmérő rendszerek sokszor meghibásodtak, és ha eltérő értéket adott a két, egymást ellenőrizni hivatott rendszer, egyáltalán nem jelezték a rendelkezésre álló üzemanyag mennyiségét. Ezt hasonló esetben más típusokon a fedélzeti mérnök számolta ki, de a 767 egyik újdonsága éppen az volt, hogy nem volt fedélzeti mérnök. Így az üzemanyag számolgatása a két pilótára maradt, akik azonban erre nem voltak felkészítve, és nem alakult ki megfelelő protokoll sem arra, hogy hogyan kell a számítást elvégezni. A tapasztalt pilótáknak ez persze nem okozott nagyon nagy gondot, csak át kellett számítani a meglévő kerozin tömegét térfogatra, megmondani, hogy még hány egységet kell a földi kiszolgáló személyzetnek a gépbe pumpálni, azt visszaszámolni tömegre, amiből aztán tudni lehet, hogy mire elég még a jet juice, ahogy az amerikai katonai repülők hívják. Ez így hirtelenjében annyira nem tűnik egyszerűnek, de a műszerek híján mérőpálcákról leolvasott információ kellőképpen pontos adatot ad, a számítás kipróbált, bevált, a képlet ismert. A repülő üzemanyagát ugyanis tömegben (és nem súlyban!) mérik, mert a térfogat repülés közben a légnyomással változik. A felszínen 0,8 kg kerozin egy liter, fent azonban jóval kevesebb, mert az alacsonyabb nyomáson és az alacsony hőmérsékleten tágul is, szűkül is a térfogata. A pilótáktól elvárt, hogy boldoguljanak ilyen hirtelen feladatokkal is, hiszen a repülés közben számtalan olyan váratlan probléma adódhat, amire nincsenek előre felkészítve, legyen az akár rágógumit rágó, pösze légiirányító, hajszoltságában félmunkát végző technikus (korábban egy ilyen kiiktatta az üzemanyagmérő rendszer egy elemét, aztán nem jutott vissza a géphez, hogy helyreállítsa), vagy éppen a derült égből matek házi. Az újdonságot a font, kilogramm és liter közötti váltószámok jelentették.

bagolymondjahukkkTehát nézzük csak! Van még 7 682 liter lötty a gépben, és ugyebár 0,8 kiló literje, tehát kell még nagyjából 16 ezer kiló, ami kis kerekítéssel 20 ezer liter, és megvan a hazaúthoz szükséges 22 300 kg. Ha jól számolják. Az Air Canada 143 esetében többen, krónikusan felcserélték a liter/kilogramm és a liter/font váltószámát. 7 682 liter lötty 1,77 font/liter tömeggel számolva 13 597, a 20 300-hoz még kell 8 703, vagyis 4 917 liter. A 4 917 liter azonban csak 10 100 kilóra töltötte fel a tartályokat! A gép nagyjából 50%-kal kevesebb üzemanyaggal szállt fel, mint kellett volna. És ez az 50% szigorú következetességgel félúton elfogyott.

Rengeteg tanulságot vontak le a különféle szervek, a Boeing, az Air Canada, és számos olyan szabályt vezettek be, ami megakadályozza, hogy ilyen újra előfordulhasson. Rob Pearsont és Maurice Quintalt előbb felfüggesztették, de később felmentették őket, és a Fédération Aéronautique Internationale elsőként nekik adott a kiemelő pilóta teljesítményt elismerő díszoklevelet (1985-ben).

A C-GAUN lajstromjelű Boeing 767, későbbi becenevén Gimli Glider sérülései minimálisak voltak, és a régi légi bázison ki lehetett javítani annyira, hogy utána nagyjavításra átvigyék a karbantartó helyre. A sors morbid humora, hogy a szerelőket helyszínre szállító busznak félúton elfogyott az üzemanyaga, és egy másik buszt kellett értük küldeni. Ráadásul 1985-ben, amikor Pearson és Quintal újra munkába állhatott, első útjukon ismét egymás mellé kerültek. A gépátvételkor jöttek rá, hogy a repülő, amire beosztották őket, a Gimli Glider. Még viccelődtek is rajta, hogy remélhetőleg ezúttal elég lesz az üzemanyag, de alig szálltak fel, megszólalt a vészjelző, amely a veszélyesen kevés kerozint jelzi. Szerencsére kiderült, hogy ez alkalommal maga a vészjelző hibásodott meg, és gond nélkül folytathatták az útjukat.

bagolymondjasuhanPearson kapitány és Quintal első tiszt rekordot tart az utasszállító repülőgéppel végzett távolsági siklórepüléssel: 143 kilométer és 17 perc után ráadásul komoly sérülés nélkül tették le a gépet. Sajnos ez rendszerint nem sikerül. Pearson vitorlázórepülő tapasztalata fontos szerepet játszott ebben. Egy olyan, kis siklógépekre kitalált manővert tudott végrehajtani az alig irányítható óriásgéppel, amit nagy utasszállítókkal elvileg nem is lenne szabad, de csak így sikerült kellőképpen lelassítania a biztonságos földet éréshez.

25 évvel az eset után Gimli városa emléktáblát állított a Gimli Glider és pilótái tiszteletére. Természetesen Pearson és Quintal kapitányok is ott voltak (Quintalt addigra előléptették), és a város hős megmentőknek kijáró ovációval fogadta őket.

OLYMPUS DIGITAL CAMERA
Gimli Glider konzerválva várja a sorsát a Mojave-sivatagban

2008 január 1-én, amikor a C-GAUN lajstromjelű repülőgép utolsó útjára indult a Mojave-sivatag felé, mindketten ott voltak az ünnepélyes búcsúztatásnál. A gép sokáig épen és érintetlenül várta, hogy hátha valaki megszánja, kivásárolja a roncstemetőből, és volt is rá kezdeményezés, hogy megmentsék, de a 3 millió kanadai dollárt nem sikerült összeszedni rá. 2014-ben végül szétvágták, és egyes fém alkatrészeiből a nevezetes kényszerleszállás emlékére plaketteket készítettek.

Robert Pearson kapitány az Air Canada szolgálatában töltött évek után 1995-ös nyugdíjazásáig az Asiana Airlines gépeit repülte, jelenleg tudtommal nyugdíjas éveit éli. Maurice Quintal 2015. szeptember 24-én, 68 éves korában elhunyt, és a quebeci St. Donat temetőben nyugszik.

boeing_767-200_28air_canada29_kluft_feb-2008_0374
Gimli Glider a Mojave-sivatagban, a hajdani katonai repülőtér épületei és sorstársai előtt

A C-GAUN 1985-ben: By Ted Quackenbush [GFDL 1.2 or GFDL 1.2], via Wikimedia Commons

Gimli Glider: Korabeli televíziós híradás képkockája. Megismételhetetlen felvételből idézet gyanánt kiemelt kép, feltételezhetően nem jogsértő (non-profit célú használat). Forrás: az angol Wikipedia.

Air Canada 767 C-GAUN: By Akradecki (A feltöltő saját munkája) [CC BY-SA 3.0 or GFDL], via Wikimedia Commons

Boeing 767-200 (Air Canada) Kluft: By Ikluft (A feltöltő saját munkája) [GFDL or CC BY-SA 4.0-3.0-2.5-2.0-1.0], via Wikimedia Commons