Március idusa előtt

3,1415926535897 – és ami mögötte van

bagolymondjageekMost éppen március 14-e van, egy nappal március idusa előtt, így hát boldog π-napot!

Ez a nap dátumszerűen leírva (03. 14.) emlékeztet arra, ahogy a tizedesvessző helyett tizedespontot használó országokban a π első két tizedesig számított értékét leírják, ezért lett a geek (kocka) szubkultúrában a Pí napja. Vannak, akik jó alkalomnak tartják ezt mindenféle összejövetelekre, ünnepségekre, tekintve, hogy a π a természetben előforduló egyik legfontosabb konstans érték. Az értékeket pedig meg kell őrizni, még akkor is, ha csak helyi értékek! A további értékmegőrzés érdekében a megemlékezések, ünnepségek és bulik hagyományosan e nap délután 1 óra 59 percében kezdődnek, mert ezzel a π értékét még pontosabban meg lehet jeleníteni a meghívókon, értesítőkön és minden egyéb felületen: 03. 14 1:59 am. Persze nálunk, akik előszeretettel használjuk ilyen esetekre a huszonnégy órás és két számjegyes időbeosztást, ez nem működik, hiszen sem a 03. 14. 13:59, sem a 03. 14. 01:59 nem éri el a kívánt hatást… Súlyos teher ez Európára nézve! (Soha semmi ne legyen súlyosabb…)

ludolf_van_ceulen
Ludolf van Ceulen (1540 – 1610) – forrás: [Public domain], via Wikimedia Commons
Willebrord Snel van Royen (Snellius) (1580 – 1626) – forrás: [Public domain], via Wikimedia Commons

Nem igazán tudni, hogy mikor „találták ki” a π-számot. Az európai kultúrában Ludolf-féle számnak is nevezik, Ludolf van Ceulen a német származású holland matematikus tiszteletére, aki erődépítészi és vívómesteri pályafutását fejelte meg azzal, hogy a kört több százmillió vagy épp több mint 4 trillió oldalú sokszögre bontva számítgatta a kör átmérőjének és kerületének viszonyszámát. Ludolf (akinek nevében a „Ceulen” Kölnre, szülővárosára utal csak) húsz, majd 1621 körül harmincöt tizedesre pontosan határozta meg e különleges szám értékét. Abban az évben kiadója, a leideni matematikus-csillagász Willebrord Snel van Royen jól kitolt vele: Ludolf 262 oldalú poligonja helyett egy 230 oldalú poligonnal határozta meg ugyanolyan pontosan az állandót, amivel kvázi feleslegessé tette Ludolf sokévi többletmunkáját. Talán ennek ellentételezéseként lett Ludolf a π névadója.

Bár az az igazság, hogy nem is Ludolf adta e különleges szám nevét. 1707-ben William Jones használta az érték jelölésére a görög „kerület” szó („περίμετρος” azaz „perimetrosz”) rövidítéseként a görög ábécé pí betűjét, de nem általa terjedt el széles körben, hanem a geometriában elért eredményeiről híres matematikus Leonhard Euler 1737-es munkájából.

value20of20pi
Pí – Forrás: RadioMirchi blog (India), feltételezhetően az egyszerűsége miatt közkincsnek minősül (most probably copyrights not applicable due to simplicity)

A π jelölés óriási előnye az, hogy a számításokban, képletekben rendkívül egyszerűvé tette e végtelen, nem ismétlődő tizedes tört tökéletesen pontos jelölését. Mert hát a π egyik különlegessége abban rejlik, hogy valójában megismerhetetlen. Nincs benne ismétlődés, és teoretikusan bizonyítható, hogy nincs vége. Viszont ettől minden olyan érték, aminek kiszámításában szerepet kap, szükségszerűen csak közelítő pontosságú. Ami nem feltétlenül probléma, ha kis méretű dolgok számításában jelentkezik elhanyagolható eltérés, de csillagászati léptékkel a pár tizedes eltérés kilométerek százait, ezreit is jelentheti! Ezért szükséges a π minél pontosabb meghatározása, és ezért foglalkoznak ezzel mind a mai napig, amikor már kétszázmillió számjegyig ismerjük. (Állítólag egy japán kutatónak sikerült három trillió tizedesig kiszámítani az értékét, de erről közelebbi információt nem sikerült találnom.) De van ebben egy kis kivagyiság is, természetesen: a körülöttünk lévő űrobjektumokkal való számításokhoz a π ismerete harminckilenc tizedesjegyig elegendő, és a tűrés még ekkora értékkel is kisebb lesz, mint a hidrogénatom sugara. A mélyűr kutatásában, exobolygók felderítésében viszont már nagyobb pontosság szükséges – akár ötven, hatvan tizedesjegyig is. Az ennél is pontosabb meghatározás optimista: feltételezi, hogy a világegyetem megismerhető, és a legtávolabbi űrobjektumokról is valós, pontos adatokat tudunk használni, így a tulajdonságaik kiszámításához rendkívül pontos π-értékre van szükség…

bagolymondjahuhaAzt gondolná az ember, hogy a π értéke megtanulhatatlan, ami bizonyos pontosság felett igaz is. A legtöbben két tizedesjegyig bemagoljuk az iskolában, és ha bárkit megkérdezünk, hogy mennyi a π, nagy valószínűséggel rávágja, hogy „3,14″ (vagy hogy „nem tudom”). A matematika, természettudományok iránt fogékonyabbak, a kockák esetleg tudják nyolc értékes jegyig (3,1415926) vagy tizenkét tizedesig (3,141592653897), de sokkal egyszerűbb ilyen pontosság igénye esetén π-verset használni a memorizáláshoz. A π-vers lényege, hogy az egymás után következő szavakban annyi betű van, amennyi a soron következő helyiérték értéke. Számos ilyen létezik, több nyelven is, és a legjobbak szorosan kapcsolódnak a Ludolf-féle számhoz. Olyan sok van belőlük, hogy a π-vers írásnak külön tudományos neve is van, a pífilológia. A Wikipédia π-ről szóló cikkében harminc, vagy negyvennyolc értékes számjegyig pontos π-versek is vannak, de ott szerepel a legszebb gyöngyszem, Pothurszky Géza 150 helyiértékes verse is. Ez a nullák helyén három pontot (elmondva szünetet) megjelenítő vers szerintem ide kívánkozik:

Íme a szám, a híres, nevezetes pi,
melyet tudom már régen kutatnak.
Elismerve Ludolph számsorát
már az itt jegyzett húsz számon.
És tudjuk, vele sok kör kerülete
már az átmérők szorzatai.
Görög … pi betűként: végtelen szám,
a kerületek hosszát e jellel számlálod!
Már bármilyen kerületet tud “lemérni” ezzel,
s … jegye pontosan jó … eredményt számlál majd.
Egyiptomi régi írás, Rhind-papirusza is
már … emleget bizonyos, a körről való
… sekély, de meggyőző tudást.
Pi … értékről tudósokon keresztül
rögzítve, Biblia is ismertet …
Már Kína tudósaik, Cu Csung-cse,
Heng is, s a társaik … tudták értékét számítani.
Indiában is e szám értékeit … kutatták,
kilenc jegye (a sok pi számítás jó,
sőt) … nagyon pontos, kész jegyeik.
… Európában rég’ Novgorod járt élen.
Shanks, … Matsunaga, Sharp,
tudós … elmék érdemeik az új jel
a hiteles pi érték adó száma.
Korunknak “gépe” … számítja a pi értékeit.

(Pothurszky Géza, Sárospatak, 2015. május 12., forrás: Wikipédia)

 Ettől függetlenül az átlagember számára bosszantó, hogy egy ilyen fontos szám ennyire pontatlan, megfoghatatlan, és megnehezít minden számítást. Egy valótlan történet szerint Amerikában Donald Trump megpróbálta törvényileg normalizálni ezt az áldatlan állapotot, és elrendelni, hogy a π értéke pontosan három legyen. Az anekdota találó, de nem igaz. Van viszont némi alapja: 1897-ben Indiana államban egy önjelölt amatőr „matematikus” a törvényhozás elé vitte a javaslatait, amellyel a számítások egyszerűsítése érdekében különféle közelítő értékekkel helyettesítette volna a π-t. E meglehetősen pontatlan és időnként légből kapottnak tűnő számok között még a 3,0 és a 3,20 is előfordult jelöltként. A legszebb az egészben, hogy a Képviselőház (a törvényhozás alsóháza) el is fogadta az Indiana Pi Bill nevű javaslatot, a Szenátuson (felsőházon) azonban úrrá lett a józan ész, és a javaslat nem emelkedett törvényerőre.

Sárga, kör alakú tortára emlékeztető pite a tetején a pí jelével és körben a 27 tizedesig pontos értékével
Pí-pite, a leggyakoribb tréfa a Pí-nap (és Tau-nap) kapcsán – forrás: GJPi_pie2.jpg, Public Domain, Link

Több értelme volt Albert Eagle 1958-as javaslatának, aki munkájában a π helyett a τ (tau) értéket javasolta bevezetni. A τ értékét a π feleként határozta meg (π/2), és több képlet felírását egyszerűsítette volna az új konstans bevezetése – de sajnos senki nem követte a példáját. Ellenben sokan kezdték τ-val jelölni a π kétszeresét, mivel egy teljes fordulat (360°) radiánsban kifejezve 2π, és a kör kerületének képlete is természetesebb módon felírható 2rπ (azaz 2 x r x π = r x 2 x π) helyett rτ (azaz r x τ) alakban. A τ a diákok köreiben hamar népszerű lett, mert a τ közelítő értéke 6,28. Ez pedig szintén jó ok a bulira: június 28-án (06. 28.) meg lehet rendezni a τ-napot, ami twice the pie – és mivel a “pie” pitét (is) jelent, ez jó ok egy kiadós zabálásra is. Ezek után nem csoda az sem, hogy a mainstream matematikában, a tudomány fő irányzataiban a τ mégsem terjedt el.

Párizsban a Palais de la Découverte épületében egy kör alakú terem található, a π-terem. Itt a falakon a kupoláról befüggesztett, fából készült számjegyeken látható a π 707 számjegyig, az angol William Shanks 1853-ban publikált, 30 évi munkát igénylő számítása alapján. Csakhogy 1944-ben a szintén angol D. F. Fergusson (egy mechanikus asztali számológéppel) bebizonyította, hogy Shanks számítása az 528. számjegytől hibás. A π-teremben tehát – még leírni is szörnyűség! – egy pontatlan π volt kiállítva! 1949-ben (három évnyi szervezőmunkát követően) kicserélték a téves számjegyeket, és a most látható érték pontos.

Huuuu-fuNem én lennék, ha a π értékét ne tudnám az ókori Egyiptommal összebútorozni, főleg a címkép után… Ismerték Kemet lakói a π értékét? Nem. Akkor ezt most hogy is? Kezdhetsz aggódni, elmagyarázom.

A π értékét nem ismerték ugyan, de felfedezték a kör kerülete, átmérője és területe közötti összefüggést. Az építészetük magas szintű matematikai ismereteket tett szükségessé, és a ránk maradt írásos emlékekből tudjuk, hogy bírták is azt a tudást, amit feltételeznünk kell. Több forrás utal arra, hogy már az Óbirodalom idején, bő négy és félezer éve tudták, hogyan lehet viszonylag pontos számításokat végezni a π-vel, bár ők nem konstansként használták, hanem egy számítási formulát alkalmaztak, aminek nagyon hasonló végeredménye volt. Kákosy professzor egy picivel későbbi iratból, a Kr. e. 2000 körüli Rhind-papiruszból idézett is egy példát, amiből a képlet π=4 x (8/9)2 (nyolckilenced a négyzeten, szorozva néggyel), aminek az eredménye az ókorban páratlanul pontos 3,16049383. A mezopotámiai kultúrák 3,125 és 3,2 közötti értékekkel számoltak, ami sokkal nagyobb tűrést jelentett. A görögök, Arkhimédész révén, a kör sokszögesítésével próbálták egyre pontosabban meghatározni a π értékét. Arkhimédész legpontosabb közelítése 3,142857 volt, amit később tovább finomítottak az ő módszerét alkalmazva – akár csak a névadó Ludolf van Ceulen is.

Albert Einstein egy tábla előtt állva, kezét az előtte lévő asztalon nyugtatja, másik kezében krétát tart és derűsen elnéz a bal oldalunk mellett.
Albert Einstein 1921-ben – Forrás: Ferdinand Schmutzer [Public domain], via Wikimedia Commons

Szerintem elég ennyi a π-ből egy olvasatra, de a π-napnak van még egy fontossága is: 1879-ben éppen a π-napon született meg Albert Einstein. A rendkívüli tudós, aki nem csak intelligenciájával, hanem extravagáns szokásaival is mélyen beleírta magát a történelmünkbe,  éles elméjéről és humorérzékéről egyaránt híres manapság. De hogy ezt hogyan számította így ki, arra nem találtam forrást.

 

bagolymondjatanuljfiam

A címképen: forrás: ismeretlen, feltételezhetően közkincs (presumably public domain)

A Srác és a száguldó pap

Egy kör ezer mérföld. A babona szerint kell hozzá egy jó versenyautó, egy kiváló versenyző, egy pap, és a Biblia.

bagolymondjaversenyezzVolt régen egy egészen őrült autóverseny, ami nagyjából mindenen túltesz, amit napjainkban a motorsportban szerveznek. A futam egyetlen körből állt, de az a kör durván 1600 km volt, Bresciából Ravenna, Pescara, Róma, Siena és Firenze érintésével haladt át a ma is rettegett Futa-hágón Bologna felé, mely  után Modena és Cremona következett, mire visszaért Bresciába. Ez az irgalmatlan hosszú táv adta a nevét is az ezer mérföldes versenynek, a Mille Miglia olaszul ugyanis ezer mérföldet jelent.

A Mille Miglia óriási presztízzsel bírt az ötvenes évek első felében, hatalmas kihívás volt a versenyzőknek és a technikának is, és nem tudom, hogy volt-e olyan futam, amelyen nem történt egyetlen haláleset sem. Ha azt mondom, hogy őrült verseny volt, egyáltalán nem túlzok. Bár a Man-szigeti Tourist Trophyt, a szicíliai Targa Fioriót és a mexikói Carrera Panamericanát is illethetné ez a jelző, felsőfokkal szerintem csak a Mille Migliára illik. Ennek egyik legfőbb oka az volt, hogy például az 1955-ös versenyre 661 autót neveztek (bár csak 531 indult el ténylegesen), és a verseny nyílt, a közönség és a forgalom elől legfeljebb rövid időkre lezárt pályán zajlott. Számos híres versenyző azért kényszerült feladni idő előtt, mert a szurkolók védelme érdekében hagyta el a pályát. Karl Kling, a németek egyik kiválósága Rómában egy fának csapódva rommá törte a Mercedesét, mert a kíváncsi tömeg elállta az útját. Hasonlóképp járt az olaszok egyik kedvence, a Ferraris Tartuffi is aki pedig igen jó eséllyel indult. Az utat helyenként kőfal szegélyezte, máshol, például Rómában a város utcáin kanyargott végig, és a  biztonságot az itt-ott elhelyezett szalmabálák nyújtották. Egy szalmabála ugyanis köztudottan képes megfogni egy 200 km/h körüli sebességgel száguldó autót. Ez a verseny az ilyen körülmények és a műszaki, erőnléti és mentális kihívás miatt lett fogalommá, és a Mille Migliát utolsóként befejezni is elismerést kiváltó tett volt.

1955-ben egy nagyjából megdönthetetlen rekord született. Abban az évben számos nagyon nagy név fémjelezte a motorsportot: az argentin “Mester” Juan Manuel Fangio, a német Karl Kling és a megjegyezhetetlenül hosszú nevű őrgróf, Wolfgang Alexander Albert Eduard Maximilian Reichsgraf Berghe von Trips, az olasz Tartuffi, a belga Paul Frère mellett Donald Healey, Lance Macklin, és még hosszasan lehetne sorolni. Fangióval azonban csak néhányan értek fel: Mike Hawthorn, Umberto Maglioli, és persze az akkoriban “A Srác” becenéven elhíresült Stirling Moss. Ő volt az, aki közel száz mérföldes átlaggal, 10 óra 7 perc és 48 másodperc alatt száguldott végig az irtózatos távon (majd a szokásos ünneplés után  még aznap éjjel elindult, és másnap is végig vezetve tovább autózott az aktuális barátnőjével Kölnbe – mindössze Münchenben állt meg reggelizni, és Stuttgartban egy ebéd erejéig).

Bagoly mondja hu logoMoss győzelme egészen elképesztő volt, és mindenféle találgatások keltek szárnyra, hogy mi tette lehetővé a hihetetlen és megdönthetetlen rekordot. Az egyik – Moss bevallása szerint is – egy “varázspirula” volt, amit Fangio adott neki, és ami a háború alatt a bombázó pilóták által használt élénkítőszernek, egy dexedrin-benzedrin kombinációnak bizonyult. A másik… erről azonban hallgassuk meg Beppét, aki éppen az egyik, Sasso Marconi közelében meghúzódó kis falu kocsmájában mesél róla a barátainak:

– Én láttam ám, hogy ez a Moss miért volt képes ilyen csodára! Láttam, bizony, a saját szememmel! Ott ment el előttem annál a hajtűkanyarnál a domb mögött, ami Battedizzo felé megy, ahol az öreg Paolo a múltkor elveszítette a kését. Aztán látom, hogy jön valami, illetve először csak hallottam, mert olyan hangja volt, hogy azt előbb csak hallja az ember, tudjátok. Aztán ilyen nagy erős, ezüst színű gép volt az, láttam is rajta a 722-es számot, hát az volt ennek a Mossnak a száma is, én már csak tudom. És ott a kanyarban egy kicsit lassítottak, és ez ott tekerte azt a böszme nagy kormánykereket, és ott ült mellette egy nagyszakállú pap, és az folyamatosan olvasta neki a Bibliát! Na hát ezért nyertek ezek, mert az Úr is velük volt!

Nos, igen… Beppe szeret beszélni, és talán ki is színezi a dolgokat egy kicsikét, de a Bibliát olvasó, nagy szakállú pap híre nem csak az ő asztaltársaságában kapott szárnyra, hanem igencsak sokfelé, és az egyszerű emberek vallásos, sőt, babonás képzeletében kitűnő táptalajra lelt.

bagolymondjadicsakÉs Moss mellett tényleg végig ott ült egy nagy szakállú, szemüveges, fura kinézetű valaki, aki végig olvasott neki – igaz, nem hangosan, hanem mutogatva, mert a Mercedes 300 SLR hangja mellett ordítva sem lehetett beszélgetni. Ez az ember önmagában is legendává vált. Denis Sargent Jenkinson újságíró volt, akit szinte átitatott a motorsport, már a harmincas évek óta. “Jenk” vagy ahogy a cikkeit jegyezte: DSJ először az amerikai John Fitch-csel egyezett meg, hogy mellette teszi meg az ezer mérföldet (nota bene, Fitch hasonlóan szenzációs teljesítménnyel kategóriájának győztese lett, sokkal erősebb kocsikat is maga mögött hagyva). Beszélgetéseik, felkészülésük során valamelyikük (vitatott, de talán inkább Fitch) felvetette az útvonal-leírás, azaz itiner ötletét. Egyes források szerint Jenk, Jenk szerint Moss, legvalószínűbben pedig az amúgy mérnök Fitch épített hozzá egy eszközt is. Az itinert nem füzetbe, hanem egy közel öt és fél méter hosszú, összeragasztott lapokból álló szalagra írták, és az egészet egy fém dobozban, plexi alatt helyezték el. A dobozban két, forgatható henger volt: az egyiken a tekercs, amit át lehetett csévélni a másikra, és közben az éppen szükséges rész megjelent a plexi alatt. Ez volt az a Biblia, ami győzelemre segítette… Nos, nem Fitch-et, mert közben a Mercedes kiosztotta a versenyautókat, és míg a nagyágyúk, Moss, Kling, Hertmann és Fangio a W196-os Formula–1-es autókból módosított fenevadakat, a 300 SLR-eket kapták, Fitch a jóval gyengébb sirályszárnyú 300 SL kormánya mögé került. Kling és Fangio túl veszélyesnek tartották a versenyt ahhoz, hogy utast is vigyenek magukkal, ám Moss hajlandó volt navigátornak maga mellé venni Jenkinsont, és Fitch is egyetértett ezzel a döntéssel, mert az újságíró számára a 300 SLR volt az igazi téma. Jenk vitte magával az itinert, avagy a “Bibliát”, Fitch meg egy másik újságírót, Kurt Gesellt (akit a neve után sokan németnek tartanak, mások amerikainak), bár annak igazából lövése sem volt az útvonalról.

Jbagolymondjaezegykocsienkinson cikke egészen érdekesen mutatja be a felkészülést is, és a versenyt is, Moss oldalán. Hallani nem hallhatták egymást a kocsiban, és bár próbálkoztak rádiózással is, Moss, ha vezetett, egyszerűen kizárta a rádió hangját, mint szükségtelen zajt. Így aztán Jenk kidolgozott egy tizenöt kézjelből álló rendszert, és elmutogatta a pályát. Bár nem mindig sikerült: beszámolt arról, hogy neki is voltak kihagyásai, sőt, rosszul is lett a szűk, “kertek alatt” futó utakon bemutatott száguldástól. Előfordult, hogy a versenyen kívüli bejárásnál százas tempóban abszolvált bakhátas híd százhetvennél úgy megdobta a Mercit, hogy levert az alja, és csak annak köszönhetően folytathatták a versenyt, hogy az autó rendkívül erős, “ütésálló” volt. Jenk a komolyan megütött a gerincét órákig fájlalta. Később még a szemüvegét is lefújta a menetszél, amikor kihajolt a kocsiból, hogy Vuk valamelyik rokonának szabadon bocsátásával enyhítsen a gyomrára nehezedő nyomáson – szerencsére felkészült még erre is, és volt nála tartalék szemüveg. Moss mögött fél órás lemaradással Fangio érkezett célba másodikként, a második 300 SLR versenyautóval, míg a harmadik (Karl Kling) és a negyedik (a két Hermannal: Hans Hermann navigátora Hermann Eger volt) összetörve maradt az út mellett valahol. A harmadik, ötven perces hátránnyal az azonos géposztályban induló Maglioli lett egy Ferrari 118 LM autóval, negyedik az eggyel alacsonyabb géposztályba tartozó Giardini-vezette Maserati, több mint egy órával lemaradva. Fitch a négy kategóriával gyengébb 300 SL-lel lett ötödik, és ezzel helyet szerzett magának a következő, hasonlóan WSCC-be számító és extra igénybevételt jelentő megmérettetésre egy 300 SLR-be: ő lett Pierre Levegh váltótársa a Le Mans-i 24-órás versenyen.

A motorsport történetének legtöbb áldozatot követelő tragédiája akadályozta meg, hogy a kormány mögé ülhessen azon a versenyen: több mint nyolcvanan haltak meg, köztük Levegh is, amikor a népszerű francia pilóta kocsija egy ráfutásos ütközést követően a nagytribün előtt álló nézők közé csapódott. De ez már egy másik, és sajnos kevésbé vidám történet. Térjünk vissza inkább Mosshoz.

bagolymondjamivandokiSir Stirling Moss autóversenyzői pályafutása és eredményei alapján kapta meg az OBE lovagi címet. Formula–1-ben többször indult, mint az ötszörös világbajnok Fangio, de egyetlen világbajnoki címet sem szerzett. Egyhez nagyon közel állt, de ő maga mondott le róla, mivel úgy ítélte, hogy a versenybírók túl súlyos büntetést mértek ki Mike Hawthornra, és szót emelt az érdekében. Hawthornnak az lett az első és egyetlen Formula–1-es bajnoki címe. Az ötvenes-hatvanas években Angliában szállóigeként hasonlították a feltűnően gyorsan hajtó autóvezetőket Stirling Mosshoz. (Nálunk egy időben Fittipaldi neve forgott hasonló szerepben közszájon.) A szólás egy idő után a brit közlekedési rendőrök rutin kérdése lett, amikor a  gyorshajtókat megállították. Sőt. Egyszer Mosst is megállították.
– Mit képzel, ki maga, talán a Stirling Moss? – kérdezte a rendőr. Igencsak nehezen hitte el az igenlő választ! 🙂

Moss Mercedes 300 SLR versenyautója a Mercedes-Benz múzeumában: By Valder137 [CC BY 2.0], via Wikimedia Commons